Intégrales

Vocabulaire et définition

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Droites

Prenons cette courbe :

Tel que f(x): \begin{equation}f(x) = 2x\end{equation}

Observations

1. La fonction f est positive sur l’intervalle $[0;1]$ car sa courbe est au-dessus de l’axe des abscisses
2. f est continue sur $[0;1]$

Une intégrale permet de calculer l’air sous la courbe.

Nous allons chercher ensuite l’intégrale suivante :

$$\begin{array}{c}({\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{2\ast 1}{2})\end{array}=1$$

Notre fonction f a donc bien une densité de probabilité sur $[0;1]$

Quand une intégrale est une densité de probabilité

Pour être une densité de probabilité, elle doit être strictement égale à 1

On peut alors effectuer des probabilités dessus.

Si nous voulons connaitre $P(X<0.5)$:

$$P(X<0.5)=\frac{0.5\ast 1}{2}=0.25$$

Et $P(X>0.75)$: $P(X>0.75)=\frac{0.75\ast 1,5}{2}=\frac{7}{16}$ Alors : $P(X=0.25)=0$ $P(0.25<X<0.75)=0.5\ast 0.5\ast \frac{0.5\ast 1}{2}$ $=0.25+0.25$ $=0.5$

Courbes

Prenons maintenant cette fonction :

Où f tel que $f(x)=\frac{1}{9}{x}^2$

Notre intégrale sera :

$$\begin{array}{c}{\int }_a^{b}f(x)dx=[F(x){]}_b^a\end{array}$$

Où F(x) est une primitive de f sur $[a;b]$

Observations

1. f est positive sur $[0;3]$ car, pour tout réel $x$, $x^2>=0$ et $\frac{1}{9}>0$, donc $\frac{1}{9}{x}^2>=0$
2. f est continue $[0;3]$ car f est une fonction polynôme

${\int }_3^0\frac{1}{9}{x}^{2}dx$ $=[\frac{1}{9}\ast \frac{x^3}{3}{]}_0^3$ $=[\frac{1}{27}{x}^3{]}_0^3$ $=\frac{1}{27}\ast 3^3-\frac{1}{27}\ast 27=1$

Donc f est bien une densité de probabilité sur $[0;3]$

Calculer P(1 <= X <= 2)

$P(1<=X<=2)={\int }_1^{2}f(x)dx$ $={\int }_1^2\frac{1}{9}{x}^{2}dx$ $=[\frac{1}{27}{x}^3{]}^2$ $=\frac{1}{27}\ast 2^3-\frac{1}{27}\ast 1^3$ $=\frac{1}{27}\ast 8-\frac{1}{27}\ast 1$ $=\frac{8}{27}-\frac{1}{27}=\frac{7}{27}$

Calculer l’espérance

$E(X)={\int }_0^{3}xf(x)dx$ $={\int }_0^{3}x\ast \frac{1}{9}{x}^{2}dx$ $={\int }_0^3\frac{1}{9}{x}^{3}dx$ $=[\frac{1}{9}\ast \frac{x^4}{4}{]}_0^3$ $=[\frac{x^4}{36}{]}_0^3$ $=\frac{34}{36}-\frac{0^4}{36}$ $=\frac{81}{36}=\frac{9}{4}$

Calculer la variance

$V(X)={\int }_0^3(x-\frac{9}{4}{)}^{2}f(x)=dx$ $={\int }_0^3(x-\frac{9}{4}{)}^2\ast \frac{1}{9}{x}^{2}dx$ $={\int }_0^3(x^2-2x\ast \frac{9}{4}+(\frac{9}{4}{)}^2)\ast \frac{1}{9}{x}^{2}dx$ $={\int }_0^3(x^2-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}{x}^2)dx$ $=[\frac{1}{9}\ast \frac{x^5}{5}-\frac{1}{2}\ast \frac{x^4}{4}+\frac{9}{16}\ast \frac{x^3}{3}{]}_0^3$ $=[\frac{1}{45}{x}^5-\frac{1}{8}{x}^4+\frac{3}{16}{x}^3{]}_0^3$ $=\frac{1}{45}\ast 3^5-\frac{1}{8}\ast 3^4+\frac{3}{16}\ast 3^3$ $=\frac{243}{45}-\frac{81}{8}+\frac{3}{16}\ast 27$ $=\frac{27}{80}$ $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\frac{27}{80}}$

Calculer I(a)

Soit $f(x)=2x{e}^{-x^2}$

$I(a)={\int }_0^{a}f(x)dx$ $={\int }_0^{a}2x{e}^{-x^2}dx$ $=(e^{-x^2})=-2e^{-x^2}$ $=(-e^{-x^2})=+2e^{-x^2}$

Donc $I(a)=[-e^{-x^2}{]}_0^a=-e^{-a^2}$ $=e^{-a^2}+e^0=1-e^{-a^2}$

${\lim }_{a\to \infty }I(a)={\lim }_{a\to \infty }(1-e^{-a^2})$

${\lim }_{a\to \infty }(-a^2)=-\infty$ ${\lim }_{a\to \infty }{e}^X=0$

Donc, par composition : ${\lim }_{a\to \infty }{e}^{-a^2}=0$

Alors ${\lim }_{a\to \infty }(1-e^{-a^2})=1$

f est positive sur $[0;+\infty [$ car $2x>=0$ et $e^{-x^2}>0$ donc $2x{e}^{-x^2}>=0$

f est continue sur $[0;+\infty [$ (admis)

$${\int }_0^{+\infty }f(x)dx=\underset{a\to \infty }{\lim }{\int }_0^{a}f(x)dx=\underset{a\to \infty }{\lim }I(A)=1$$