Modélisation du problème

Exemple : production de ressources

Définitions des besoins

Cette étape se fait en 3 étapes :

1. Variables de décisions
2. Contraintes
3. Fonction-objectif

Variables de décisions

	Quantité de fer (Kg)	Conso. d’énergie	Temps de prod.
Lingot d’acier LQ	2 Kg	4 Kw·h	3h
Lingot d’acier HQ	1 Kg	5 Kw·h	10h
La production se fait par lot de 1000 lingots.

Contraintes

Les contraintes de l’entreprise sont basées sur les ressources

L’entreprise peut posséder :

• 8 Tonnes de fer
• 20 000 Kw·h
• 30 000 Heures

Fonction-objectif

Problème: COMBIEN de lingots de chaque type faut-il produire pour maximiser le chiffre d'affaire ?

Formalisation du programme

Variables

On cherche :

• $x_1$ = nb de lots de 1000 lingots de type LQ
• $x_2$ = nb de lots de 1000 lingots de type HQ

Les variables $x_1$ et $x_2$

Contraintes

Quantité de fer : $2000x_1+1000x_2<=8000$ Donc: $2x_1+x_2<=8$

Conso. d’énergie : $4000x_1+5000x_2<=20000$ $4x_1+5x_2<=20$

Temps : $3x_1+10_{x}2<=30$

Solution

Nous avons alors cet ensemble à résoudre :

$$\{\begin{array}{l}2x_1+x_2<=8\\ 4x_1+5x_2<=20\\ 3x_1+5x_2<=30\end{array}$$

Représentation graphique

faut que je pique le graph sur son diapo, j'arrive pas à le reproduire

Critères d’optimisation - Fonction-objectif

Le programme $(x_1,x_2)$ doit maximiser le chiffre d’affaires :

\max_\limits{(x_1, x_2)} Z = 300_x1 + 800x_2

On appelle solution optimale toute solution admissible $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })$ optimisant la fonction-objectif :

$\forall (x_1,x_2)Z=300x_1+800x_2<=Z^{\ast }=300x_1^{\ast }+800x_2^{\ast }$

$\Delta :300x_1+800x_2=Z$

Méthode graphique

pareil, me manque les graphs :(

Point D :

$$\{\begin{array}{l}{x}_2=0\\ 2x_1+x_2=8\end{array}=\begin{array}{l}{x}_2=02x_1=4\end{array}=>Z=1200K$$

On utilise la même logique pour tout les points